Matemática básica Ejemplos

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{y^{2} + 4 y + 3} - \frac{y}{y + 1} + \frac{12}{y + 3}$

Paso 1

Factoriza $y^{2} + 4 y + 3$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $3$ y cuya suma es $4$ .

$1, 3$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{(y + 1) (y + 3)} - \frac{y}{y + 1} + \frac{12}{y + 3}$

Paso 2

Obtén el denominador común

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{y}{y + 1}$ por $\frac{y + 3}{y + 3}$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{(y + 1) (y + 3)} - (\frac{y}{y + 1} \cdot \frac{y + 3}{y + 3}) + \frac{12}{y + 3}$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{y}{y + 1}$ por $\frac{y + 3}{y + 3}$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{(y + 1) (y + 3)} - \frac{y (y + 3)}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{12}{y + 3}$

Paso 2.3

Multiplica $\frac{12}{y + 3}$ por $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{(y + 1) (y + 3)} - \frac{y (y + 3)}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{12}{y + 3} \cdot \frac{y + 1}{y + 1}$

Paso 2.4

Multiplica $\frac{12}{y + 3}$ por $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{(y + 1) (y + 3)} - \frac{y (y + 3)}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{12 (y + 1)}{(y + 3) (y + 1)}$

Paso 2.5

Reordena los factores de $(y + 3) (y + 1)$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13}{(y + 1) (y + 3)} - \frac{y (y + 3)}{(y + 1) (y + 3)} + \frac{12 (y + 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13 - y (y + 3) + 12 (y + 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13 - y \cdot y - y \cdot 3 + 12 (y + 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Paso 3.2.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.2.1

Mueve $y$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13 - (y \cdot y) - y \cdot 3 + 12 (y + 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13 - y^{2} - y \cdot 3 + 12 (y + 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Paso 3.2.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13 - y^{2} - 3 y + 12 (y + 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Paso 3.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13 - y^{2} - 3 y + 12 y + 12 \cdot 1}{(y + 1) (y + 3)}$

Paso 3.2.5

Multiplica $12$ por $1$ .

$\frac{2 y^{2} - 9 y - 13 - y^{2} - 3 y + 12 y + 12}{(y + 1) (y + 3)}$

Paso 3.3

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.3.1

Resta $y^{2}$ de $2 y^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 9 y - 13 - 3 y + 12 y + 12}{(y + 1) (y + 3)}$

Paso 3.3.2

Resta $3 y$ de $- 9 y$ .

$\frac{y^{2} - 12 y - 13 + 12 y + 12}{(y + 1) (y + 3)}$

Paso 3.3.3

Combina los términos opuestos en $y^{2} - 12 y - 13 + 12 y + 12$ .

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Paso 3.3.3.1

Suma $- 12 y$ y $12 y$ .

$\frac{y^{2} + 0 - 13 + 12}{(y + 1) (y + 3)}$

Paso 3.3.3.2

Suma $y^{2}$ y $0$ .

$\frac{y^{2} - 13 + 12}{(y + 1) (y + 3)}$

Paso 3.3.4

Suma $- 13$ y $12$ .

$\frac{y^{2} - 1}{(y + 1) (y + 3)}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 1^{2}}{(y + 1) (y + 3)}$

Paso 4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = 1$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Paso 5

Cancela el factor común de $y + 1$ .

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Paso 5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y + 3)}$

Paso 5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y - 1}{y + 3}$